Тетрадь 4
/Авторский коллаж на основе рисунков из Интернет источников в свободном доступе./
/Рисунки из Интернет источников в свободном доступе./
/Рис. автора/
Две взаимно обратные спирали:
/Рис. и модель автора/
/Рис. автора/
… и следы меандров в математике после античности – в картинках на следующих страницах:
Тебя уже осенили какие-нибудь догадки по поводу меандров?
?
Но почему же у греков эти меандры-волны, меандры-мелодии всё-таки
п р я м о у г о л ь н ы е?
Может быть, потому что для нас, живущих на поверхности Земли, так важен именно п е р п е н д и к у л я р. Он знаменует собою у с т о й ч и в о с т ь в этом зыбком, неостановимом, вращающемся космосе.
Но.
Ведь он запрятан – незримый! – внутрь Земли, Луны, Солнца, иных планет и звёзд, галактик, — как ось посреди экватора. Он запрятан внутрь кристаллов, растений, животных, нас самих. Он запрятан внутрь атомов, внутрь того, что само по себе незримо: внутрь электромагнитного поля. Ты, наверное, знаешь, что магнитное поле и электрическое – взаимно перпендикулярны.
Когда-то Ум человеческий сказал сам себе: возьму-ка я этот посох, чтобы дойти до самого сердца мира…
И что же стало?
Появилась линейка, появились меры, появились числа. Появились модели всего того, что познавал человек: архитектура, механизмы. Появилась механика Ньютона и система координат Декарта. Для чего? – Дабы познать само круженье в конце-то концов…
Сколько лет этому посоху познанья?
Древнегреческие меандры… В них – намёк. А от них в какую глубь и даль простирается путь?
Посмотрим?
/Рис. и модель автора/
Просто внимательно рассмотри картинки:
О пирамидах некоторые исследователи-египтологи
пишут, что они имеют подобную наземной подземную часть. Может быть…
И если так, то это можно промоделировать знакомым тебе правильным многогранником, — одним из пяти, в которых находят золотую пропорцию:
/Рисунки из Интернет источников в свободном доступе. Пирамида вверху справа – из статьи Валентина Дрехарски (awaytravel.ru)/
Октаэдр! («окто» — «восемь», «эдр» — «грань»)
Отрывки из книги: И.И.Шафрановский. Симметрия в природе. Л., «Недра»,1985г., стр. 152-153:
- В Северном полушарии преобладают материки, в Южном – океаны.
- Формы основных материков и океанов отвечают треугольникам.Треугольники материков основаниями обращены к северу, а суживающимися концами к югу, тогда как океанические треугольники обращены широкой стороной к югу и суживаются к северу.
- Прямая линия, проходящая через центр Земли и повстречавшая по одну сторону от центра сушу, в подавляющем большинстве случаев по другую сторону от центра встретит воду. Если катить глобус по столу, то когда на вершине катящегося глобуса находится суша, прикасающаяся к столу точка почти всегда оказывается водой. Каждый материк противолежит какому-нибудь океану.
…Закономерности, сформулированные Грегори, могут быть наглядно охарактеризованы геометрической моделью в виде октаэдра, грани которого попеременно окрашены в два цвета… На рис.85 изображен такой октаэдр с белыми и синими гранями. Данная модель весьма наглядно иллюстрирует перечисленные выше особенности земной поверхности. Пусть белые грани модели изображают сушу, а синие – океаны. Положим наш октаэдр на стол так, чтобы с плоскостью стола совпала одна из белых граней (рис.85, а). При этом противоположная ей синяя грань окажется наверху в горизонтальном положении…Верхняя синяя грань изобразит при этом Северный Ледовитый океан; белая грань, совпавшая с плоскостью стола, отвечает Антарктиде.
Глядя сверху на модель, мы увидим вокруг верхнего синего треугольника три обращенные вверх наклонные белые треугольные грани (рис.85,б). Это материки: Америка (Северная и Южная), Еврафрика и Азия. Как и требует вторая из закономерностей Грегори, основания белых треугольников обращены вверх (к северу), а вершины – вниз (к югу). Повернув модель, мы увидим вокруг центрального белого треугольника (Антарктида) три наклонных синих треугольника, отвечающих океанам (рис.85,в).Их расположение вполне соответствует выводу Грегори.
…эта модель очень наглядно выявляет основные закономерности в распределении воды и суши на земной поверхности. Сказанное относится и к формулам симметрии-антисимметрии для данного многогранника.
…распределение суши и воды на земной поверхности подчиняется определенным законам равновесия в условиях вращения и общего движения нашей планеты.
Это – о геометрии нашей планеты. Геометрии о к т а э д р а.
Вот куда нас завёл наш посох познания – перпендикуляр! – В самую сущность строения-строя Земли.
И Земля кружит в электромагнитном поле, где тоже действует перпендикуляр. Самый прочный на Земле кристалл – алмаз – сотворяясь глубоко в недрах земной коры, в своём строении воспроизводит действие этого поля и … повторяет симметрию Земли:
Так что меандры мы вполне можем вообразить развёрткой на плоскости нашей планеты – в геометрическом исполнении, конечно же.
Каким же образом это связано с о к т а в о й Пифагора?
Геометрически связано.
Через кварты! – «Кварта» — «четыре». Квадратное число. Квадрат.
Октава («восемь») – есть у д в о е н н а я кварта («четыре»).
Удвоение – признак г е о м е т р и ч е с к о й п р о г р е с с и и (k=2).
Кварты намекают нам на присутствие в музыкальном строе геометрической прогрессии.
Как ещё иначе проявляет себя геометрическая прогрессия в музыке?
Метрическим делением, нотными длительностями, градациями в р е м е н и звучания звуков.
ВРЕМЯ.
Вот ещё с чем связана геометрическая прогрессия в музыке.
Изображением привычных нам нот это очень просто продемонстрировать:
Дальше – 1/128 х 128; 1/256 х 256… до неразличимости, которая покажется сплошной полосой, похожей на шум («белый шум»?)
/Рис. автора/
Если представить, что и длительности нот подражают принципу октавы, то деление звука-длительности на два будет подобно делению октавы на кварты:
Но у нас ещё есть ноты с точками:
/Таблицы из статьи «Как появились названия нот?» muz-teoretik.ru/
— То есть п о л т о р ы ноты: 1,5 или 3/2.
Подобие к в и н т ы.
А если так?:
… Что-то напоминает микро-октавы в октаве Пифагора. Так и до подобий комм комм комм… можно добраться:
Хорошо, что такое в нашей музыке не встречается. Попробуй высчитай такую длительность! – и звёзды успеют погаснуть в перерывах между звуками…
Интересно, кáк древние греки обозначали длительности?
Вот древние египтяне могли воспользоваться иероглифами своего излюбленного Уаджета:
|Рис.из книги: И.Стюарт. Невероятные числа профессора Стюарта./
А древние греки… Спросить бы у них…
Впрочем, у них ведь были какие-то особенные точки для обозначения отрезков текстов различной длины. И назывались они : апотома – для обозначения длинного отрезка текста; лимма – для обозначения средней длины отрезка текста в длинном отрезке; комма – для обозначения самого маленького отрезка. Д л и т е л ь н о с т и звучания речи!
А нам эти знакомцы являлись в образах музыкальных интервалов, из которых Пифагор сотворял микро-подобия октавы…
Значит, для древних греков принцип октавы действовал и в длительностях.
И речь – разве она не музыкальна?
Где только не проявлял себя принцип октавы! Его вещественными моделями служили даже произведения архитектуры!
Архитектуру называют застывшей музыкой.
Давай посмотрим ещё и на такую музыку.
Парфенон – октава
Самый знаменитый – после египетских пирамид – памятник архитектуры.
Парфенон в Афинах. Греция.
Точная копия Парфенона в Нашвилле. США
/Рис. из Википедии/
/Рис.Парфенона – из книги: А.В.Волошинов. Математика и искусство. Налож.чертежи – автора./
/Чертёж – автора/
/Рисунок из книги: А.В.Волошинов. Математика и искусство. М. Просвещение,1992г./
ПОДОБИЯ
/Рис. автора/
/Рис. из книги: И.Ш.Шевелев, М.А.Марутаев, И.П.Шмелев. Золотое сечение. М. Стройиздат, 1990г. Комментарии автора./
Афина Парфенос
/Рис. из Интернет источников в свободном доступе/
Парфенон посвящён Афине Парфенос.
Чем же так замечательна эта богиня, что ей греки посвятили самый знаменитый храм Древней Греции?
Она рождена верховным богом Вселенной Зевсом из его г о л о в ы!
Не из периферии мозга – тела, а из самого его эпицентра (!), из начала начал жизни.
Голова Зевса, расколовшись н а д в о е (k=1/2), вытолкнула, выпустила из себя в мир ту, что назвали Мудростью. Афина – богиня мудрости.
И Афина же – богиня войны.
Как это понимать?
У Афины в данном случае есть эпитет (что-то вроде прозвища, символического имени) – Парфенос. Это греческое слово означает «дева». Афина-Дева. И в этом особом случае (Афина – производная г о л о в ы) речь идёт не о телесном признаке человеческого пола («пол» — всего лишь «половина», половина Человека вообще, мужская или женская половины), а о той Мудрости, которая может проявлять себя в любом человеке, независимо от его пола.
Афина – не «половина», а с о в е р ш е н с т в о, ц е л о с т н о с т ь, которую способен восстанавливать из отдельных элементов мира разум. «Целостность» и «мудрость» — вот из этих слов сложено слово «целомудрие», иначе – «девственность».
Афина – это мир человеческого Духа, разума, ума, интеллекта. И в мире Духа беспрестанно идёт война со слабостями, к которым склоняет тело – ленью, расслабленностью, алчностью, завистью, жаждой телесных удовольствий… и т.п. Война-борьба. Со всем тем, что ведёт к разрушению Целого, к обидам и горечам, к страданиям.
Афина опирается на щит. Она – защитница. Её война – за истину, а не агрессию и разрушение. Её копьё – вертикаль Духа, перпендикуляр. Оно не агрессивно, но всегда наготове. В её правой руке – крылатая Нике с лавровым венком славы, само вдохновение и Победа. Она же – в центре на шлеме, между смелых коней, подобных той страсти, что влечёт человека к познанию. Рога её шлема – не острия, а завитки-спирали.
Афина – война-борьба человеческого Духа в самом себе, за своё совершенство. Она – призыв к у с и л и ю над собою (помнишь? – «жизнь – это усилие во времени»…). Призыв к д о м и н а н т е.
Разве не то же – в музыке?
Когда ты перевернёшь эту страницу, то увидишь п л а н Парфенона, его внутреннюю геометрию.
В этой геометрии числа показаны точками-колоннами.
Ты найдёшь и место Афины в геометрическом космосе Парфенона.
Если присмотришься повнимательнее, то пожалуй, ты поймёшь, почему афиняне облачили свою богиню-мудрость в одежды из золота.
Вещественное может выражать НЕвещественное – то, что Платон называл
и д е е й . И когда происходит так, то вещь становится с и м в о л о м (знаком) того незримого, что есть, но глазами сразу не увидеть, руками не потрогать. Постигнуть это можно только зрением ума – умозрением.
Твоё умозрение не сможет не заметить, сколь музыкален строй Парфенона!
Он весь – из консонансов. Струнная теория Пифагора – в камне.
Этот очень вещественный материал сквозь века донёс до нас очень невещественную идею такого универсального м о д у л я, который способен объединить земной и космический миры, миры веществ и существ, предметов и явлений. В этом модуле – неразлучная парочка: геометрическая прогрессия (k=2, k=1/2) и золотое сечение. И называется он ОКТАВА.
Модуль – от лат. modulus – «мера».
План Парфенона и консонансы.
/Рисунки Плана – из Википедии. Пометки-комментарии – автора./
Конечно, с помощью п р я м ы х линий измерять всё проще и удобнее: линейка и шкала мер на ней.
Но вот как же исхитриться этой п р я м о л и н е й н о с т ь ю передать
к р у ж е н ь е, которым исполнен мир, тем более – измерить это круженье?
Как смоделировать мир в т о ч н о с т и таким, каков он есть?
Где прямолинейность – там доступна точность в измерениях. Где криволинейность, круженье – там начинаются неточности…
Ох, эта загадка, эта проблема озадачивает, манит, тревожит великие человеческие умы не одно столетие и даже тысячелетие по сей день.
Древнеегипетские жрецы (читай: учёные), пытаясь добраться до сердца этой тайны, нашли свой способ распрямления окружности с соблюдением точных линейных мер. Оказалось, что это возможно только в одном-единственном случае. 12-мерная окружность при этом превращалась в 12-мерный
п р я м о у г о л ь н ы й треугольник с точными мерами сторон: 3,4,5. – В общем, известный тебе египетский треугольник. Он и знаменовал собою круженье Времени (пространства-времени): год из 12 месяцев.
На какую мысль натолкнул этот эксперимент?
— Прямой угол (перпендикуляр) может стать ключом к исчислению круженья.
Древнегреческая мысль подхватила эту идею.
Пифагор оформил её в свою знаменитую теорему.
Новую проблему поставила гипотенуза. Её упрямая неточность для всех «неегипетских» случаев с прямоугольным треугольником.
В гипотенузе оказался корень проблемы. Она навсегда оказалась связанной с исчислением (извлечением) корня. А корень упрямо оказался связанным опять же с неточностью…
Выходило, что корень проблемы круженья – в линейной неточности.
А что же тогда т о ч н о?
Какими мерами т о ч н о можно измерить это самое круженье?
…Шумерские жрецы (читай: учёные) в поисках точности всматривались в звёздное небо.
У г л о в ы е меры!
(Если интересно, прочитай текст ниже.)
Отрывок из книги: В.М.Чаругин, О.Е.Баксанский.Астрономия. Оптимальное изложение для всех уровней современной школы. Книга для школьников… и не только! М. Ленанд, 2018г.:
…Введение 60-ричной системы счисления связано с наблюдениями за перемещением светил. Жрецы цивилизации шумеров в Двуречье (3-е тысячелетие до н.э.) использовали верхнюю площадку пирамидального храма для астрономических наблюдений. Она находилась на высоте 40 метров и имела форму квадрата со стороной 11,5м. В этот квадрат вписывалась окружность радиусом 5,7м. Длина окружности равна примерно 36м и её можно разделить на 360 частей, длина каждой части будет порядка средней ширины ладони человека, то есть около 10см.Каждую такую часть можно разделить на 60 долей, причём из центра окружности одна доля будет видна под углом в1΄(одну минуту). Этот угол равен средней разрешающейся способности человеческого глаза. Таким образом, шумерские астрономы наблюдали за движением светил с точностью до одной угловой минуты. Они считали, что Солнце делает за год 360 шагов по кругу, и каждый шаг равен двум видимым угловым диаметрам светила. Солнечный шаг стал прообразом градусной меры: слово «градус» на латинском языке означает «шаг». Считается, что Солнце «шагает» равномерно и, рассчитывая эфемериды – таблицы положения Солнца на небе, — шумерские жрецы открыли арифметическую прогрессию и правило пропорции. Понятие относительности движения появилось тоже в этих расчётах, так как жрецам пришлось ввести два перемещения Солнца. Одно – суточное – относительно Земли, второе – годичное – относительно звёздного неба.
Итак, наиболее точные меры для исчисления круженья – у г л о в ы е: у г л ы
п о в о р о т а.
Вот что ещё интересно в связи с этим:
Учёные-кристаллографы (те, кто занимаются изучением мира кристаллов) тоже наиболее точными признают именно угловые меры, когда возникает необходимость определить вид минерала. Ведь внешне минералы – неправильной формы, разных размеров. А вот их кристаллические решётки (если изучить их изнутри) всегда неукоснительно соблюдают одни и те же углы в расположении атомов, характерные для определённых минералов.
А что удивительного? Ведь их формируют магнитные поля своим круженьем…
Для греков (в отличие от шумеров) был важен именно п р я м о й угол, перпендикуляр.
Он давал возможность создавать вещественные модели космоса в земных условиях (архитектура). И вся их геометрия связана с прямым углом. Земля – космическое тело, и космос являет себя в земной жизни. И древнегреческие боги тоже ходили по земле, соединяя нашу планету и мир людей со Вселенной.
Слова «градус» древние греки ещё не употребляли. Они измеряли угловое круженье долями прямого угла!
Вот строчка из книги «Прометеева искра. Античные истоки искусства математики» А.В.Жукова :
«…углы Аристарх выражал не в градусах, а в д о л я х п р я м о г о у г л а».
(Аристарх Самосский – древнегреческий астроном, математик и философ III века до н.э., впервые предложивший гелиоцентрическую систему мира и разработавший научный метод определения расстояния до Солнца и Луны и их размеров.)
Вот! Слово «доля» — аналог, подобие «градуса»; прямой угол – подобие целого (360˚).
…А теперь так хочется быстренько пробежаться туда, в «Афинскую школу» (Рафаэля), где Боэций слушает Платона и конспектирует Пифагора, и ещё разочек заглянуть в его конспект и перечитать его новым озарённым умозрением!
/Репродукции – из Википедии/
Что там написано (по поводу октавы)?
… «Делить же он (Пифагор) начал следующим образом: прежде всего отнял от ц е л о г о одну д о л ю , затем вторую, вдвое большую, третью – в полтора раза больше второй и в три раза больше третьей, четвёртую – вдвое больше второй, пятую – втрое больше третьей, шестую – в восемь раз больше первой, а седьмую – больше первой в двадцать семь раз.»
Как-то уж очень похоже на то, что Пифагор пытался сопрячь, соединить звуковое круженье и угловое, чтобы у в и д е т ь (!) звуковую модель в своём умозрении.
Давай попробуем расписать этот текст как задачку.
«Доля» у нас неизвестное – икс х. Х может быть и звуковым интервалом, как прежде, и угловой мерой – если, как Пифагор, мы захотим у в и д е т ь звук как геометрию. Эти угловые меры мы можем обозначить привычными нам градусами вместо греческих «долей».
/Таблица автора/
С седьмой доли начинается п о д о б и е. Подобие совокупности всех предыдущих.
В интервалах она даёт выход на лимму и подобие октавы в микроинтервалах, если помнишь.
А дальше – знакомые картинки.
/Рис. автора/
/Рис. автора/
/Рис. автора/
Октава и её подобие, образующие «золотой» угол — 36º: как 36 звуков в пифагоровой октаве.
Постичь круженье, тем более измерить его – задачка, конечно, не из лёгких.
Перевести круг в треугольник – была замечательная идея египтян.
Сопряжение угловых поворотов и прямых линий впоследствии произвели на свет тригонометрические функции. Роль треугольника в измерении круженья оказалась неоценимой. Смысл понятия «тригонометрические функции»: «функция» — «роль», «дело»; «тригонон» (греч.) – «треугольник»; «метрео» (греч.) – «измеряю». Но нужно отметить, что с целочисленными результатами измерений здесь всегда проблема: ты знаешь, что значения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов – не целочисленны.
Да, всё то, что не прямолинейно, не хочет поддаваться простому, а зачастую и точному измерению. В состав формул для измерения круженья вообще входят б е с к о н е ч н ы е числа. Их называют т р а н с ц е н д е н т н ы м и: «транс» — «перенос». Эти числа переносятся через все пределы-границы, не знают конца.
Таких чисел три:
Знакомое тебе π, знакомое φ, и ещё е – число Эйлера, которое входит в состав натуральных логарифмов.
Все эти числа связаны с круженьем.
Тысячелетней давности задачка о квадратуре круга тоже оказалась связанной с бесконечностью и в результате – неразрешимой.
Но зато она в конце концов привела к очень даже современной идее
ф р а к т а л ь н о й г е о м е т р и и. А идея всё та же: ломать прямую на подобные кусочки-отрезки бесконечно и измерять их, измерять, измерять… Эти вычисления стали возможны только в век компьютеров.
Во все времена человеку хочется постичь и смоделировать мир, в котором он рождён.
У Пифагора не было компьютера. Но ему тоже хотелось моделировать.
Вот что он подметил проницательно, так это то, что звук своей природой, своей физикой воспроизводит законы формирования космического пространства-времени. И создал не компьютерную, а звуковую модель этого пространства-времени!
Он создал модуль мира-космоса – октаву.
А звуки сами воссоздают круженье: они ведь – волны!
И модулируют – по подобию.
Интересно, что египтяне (древний Египет), пытаясь решить проблему квадратуры круга, тоже не избежали увлечения идеей музыкальности. В формулу площади круга они включали очень даже музыкальную дробь.
Сравни: Площадь круга диаметра d считалась равной площади квадрата со стороной 8/9d.
S = 89d²
/Табл. из Интернет источника в свободном доступе/
Обратный ход – к прямоугольности. Прямоугольные волны в современной радиотехнике: волны-меандры.
Меа́ндр (по названию геометрического орнамента в виде ломаной линии) — периодический сигнал прямоугольной формы, широко используемый в радиотехнике и электронике. Длительность импульса и длительность паузы между импульсами в одном периоде такого сигнала равны.
(Если пожелаешь посмотреть анимацию о том, как образуются такие волны, набери в поисковике «меандр значение слова», выбери «меандр – вид импульсного сигнала».)
Смешение времён!
А Пифагор бессмертен.
Октава всё ещё жива.
Музыка всё ещё моделирует пространство-время.
Но что же было с музыкой после Пифагора?
ЧТО БЫЛО ДАЛЬШЕ?