Тетрадь 1
В твоей комнате стоит потрясающая головоломка. Король головоломок!
Уверяю тебя: эта головоломка – именно м а т е м а т и ч е с к а я! Круче
Зеркального Эшера.
Догадываешься, о чём речь?
Посмотри на клавиатуру!
Посмотри н о в ы м и г л а з а м и. ( В каждом новом году и глаза должны быть новыми. А ещё лучше каждый день поутру открывать новые глаза. Один философ придумал себе правило жизни: «Стать как новое утро в незнакомой стране». И удивляться, и делать открытия. Он даже написал «Книгу Удивлений» и «Жизнь с Мыслью». Его имя – Георгий Гачев, если любопытно.)
Посмотри на клавиатуру в солнечных лучах!
Солнечные лучи – это к в и н т ы!
Солнце и квинты – это же твои родные символы!
Ты родился в пятый год нового тысячелетия. Ты родился на пятый день от Рождества (декабрьского). В этот день новорожденное Солнце одолело свою первую ступеньку, взяло свою первую высоту!
Ты родился в месяце декабре: лат. December, от decem – « десять», то есть дважды по пять, как двойной узел.
Декабрь – двенадцатый месяц. Двенадцать по-гречески dodeka. Если промыслить геометрически – месяц-додекаэдр. Если помнишь, додекаэдр – из пятиугольников, геометрических абсолютов Золотого сечения, которое, как ты уже знаешь, есть сам п р и н ц и п ж и з н и!)
Что нам пожелает сообщить о к в и н т е Энциклопедия?
Энциклопедия сообщает:
К в и н т а – от лат. quintus – «пятый», quinta – «пятая». (Родственно звучит в английском queen – «королева».)
Энциклопедия же связывает к в и н т у с д о д е к а э д р о м через одно волшебное слово: к в и н т э с с е н ц и я!
Лат. quinta essentia – «пятая сущность», то есть о с н о в а, с а м а я с у т ь чего-либо. Древние греки называли её эфиром (пятой природной стихией, главной над другими четырьмя: землёй, водой, воздухом, огнём) и изображали геометрически в виде додекаэдра. Так они представляли в своём умозрении порядок мира. Их философия («любовь к мудрости») называлась натуральной («природной»). Её подробно изложил Аристотель. Натуральная философия древних греков (античная философия) – это «любовь к мудрости природы».
Эфир – самый тончайший элемент, который пронизывает всё, все другие стихии, он властвует и управляет ими. Парацельс позднее назвал его «экстрактом» (концентратом, самой главной сущностью) всех элементов (частей, частиц) мира. А древние греки дали всем элементам-стихиям природы математическое описание через геометрические фигуры («платоновы тела»).
Итак, королева-квинта!
На твоей солнечной клавиатуре это — и н т е р в а л.
Латинское intervallum – «промежуток», «расстояние». Математически – отрезок. Вся клавиатура – в сечениях солнечных лучей, которые «насекают» её на отрезки-интервалы. Или – шаги…
Давай прогуляемся по солнечным лучам!
Да, нам бы не забыть, что они ещё и звучат…
А звуки-то всё выше и выше…
Значит, мы будем гулять – по лестнице!
Да ещё и в хорошую погоду.
Да ещё и с музыкой ( если, конечно, ты не забудешь открыть крышку своего пианино).
Как на картинке ниже – так и гуляем!
Сначала – вверх.
А по второй картинке – вниз.
/Рис.автора/
/Рис.автора/
По этой лестнице квинт гуляем не только мы.
По ней ещё гуляют и ТОНАЛЬНОСТИ!
Со сколькими из них у тебя уже состоялось близкое знакомство? Наверное, сразу всех и не вспомнишь, — толпа… Пьесы, гаммы… И всюду эти тональности! А ты хоть знаешь, откуда они взялись? Да и кто они такие?!
На всех важных персон обязательно где-то должно существовать досье! (Досье – от французского dossier, «дело», собрание документов, всяких записей по «делу».)
Интересно, существует ли вообще «Досье на тональности»?..
А пусть у нас – существует!
…Так с чего же мы начнём наше «дело о тональностях»?
Наверное, Документ №1: «Родословная».
Иначе: откуда родом?
ТОНальность – ТОН! – Вот он, главный предок. Тон.
Энциклопедия: «В музыке – это звук, обладающий определённой высотой».
«Происходит от греч. tonos – «напряжение», «ударение»,
«повышение голоса»».
«Физическая характеристика звука, которая определяется
ч а с т о т о й к о л е б а н и я голосовых связок».
А что, очень даже логично: Чем чаще колебать ( да хоть рукой или ногой) – тем выше напряжение сил. Да и для ударения нужна сила. Пальцами – по клавишам или струнам, воздухом (выдох) – по голосовым связкам.
Н а п р я ж е н и е (высота напряжения) и с и л а — вот в чём соль, оказывается.
Вот почему у ТОНА и ТОНАЛЬНОСТИ есть могучая (сильная) родственница: ТОНИКА!
В чём её могущество (сила)? Сразу не поверишь: — в гравитации! В силе притяжения то есть. Все ближайшие звуки (целый ряд/отряд звуков – звукоряд величиной в октаву, целую гамму звуков) она притягивает своей силой тяготения к себе: самая сильная – самая главная. Это как нас притягивает к поверхности Земли сила тяготения её могучего ядра, или всемогущее Солнце притягивает к себе планеты.
В этом притяжении/стяжении («стягивать к себе») – её ф у н к ц и я.
(Лат. functio – «исполнение», «осуществление», деятельность, обязанность, работа, роль, процесс.)
У ТОНики в ТОНальности – такая функция: возглавлять, главенствовать, служить центром притяжения. И… Твёрдо стоять! (как вертикаль-перпендикуляр в прямоугольном треугольнике – из построения Золотого сечения, помнишь?).
Тонику так и называют: «Центральный устой лада. Главная о п о р а лада» ! (Энциклопедия)…Ух ты! Ещё и ЛАД просится в родословную тональностей…
Ладно. Лад так лад: ладно/складно, порядок, по-видимому, какой-то — во взаимных отношениях. Организация. Звуков организация, естественно.
Как и в любой организации, в организации звуков есть элементы (звуки) устойчивые и НЕустойчивые. Очевидно, те, что «разделяют точку зрения» главы организации (тоники), согласны с ней, созвучны – те и более устойчивы. Таких набирается АККОРД! Разумеется, этот аккорд – тонический (ведь все его звуки согласны с тоникой, самой главной опорой).
(Французское слово accord – «согласие».) Тонический аккорд – всегда в согласии с тоникой.
Для того чтобы лад выразил свою сущность, свой характер, достаточно аккорда-трезвучия. Вот нам и триумвират власти в ладу-организации: тонический аккорд.
Самый интересный персонаж этого «триумвирата»-трезвучия – МЕДИАНТА.
(Медианта – от лат. medians – «находящийся посередине».)
Срединный звук трезвучия, его первая от тоники терция ( интервал, расстояние от тоники в три звука: лат. tertia – «третья»).
От того, какою будет эта терция, будет зависеть и каким будет ЛАД. Если терция окажется большой (чуть подальше от тоники, чуть посамостоятельнее), мы услышим бодрый, жизнерадостный, жизнеутверждающий и солнечный МАЖОР. Он как-то очень похож на мужественного воина.
(Мажор – от франц. majeur, от лат. major – «больший», а также dur, от лат. durus – «твёрдый».)
Мажор сотворяется большим тоническим трезвучием, которое сотворяется большой терцией.
Если терция окажется малой (чуть поближе к тонике, чуть зависимее от неё), мы услышим мягкий, лиричный, созерцательный, задумчивый («размыслительный»), несколько печальный, меланхоличный МИНОР.
(Минор – от итал. minore, от лат. minor – «меньший»; также — moll, от лат. mollis – «мягкий».)
Минор сотворяется малым тоническим трезвучием, которое сотворяется малой терцией.
Два разных лада сотворяет эта МЕДИАНТА (из двух вариантов терции, двух «третьих»), таких противоположных два лада: МАЖОР и МИНОР.
Ох, и сюда прокралась двоичность! Два лада.
Да ещё и троичность маячит – терции, как-никак, виновницы.
К слову сказать, математики любят особые слова-термины для двоичности и троичности (может, ты уже встречался с ними, а может – встретишься как-нибудь с этими терминами):
БИНАРНОСТЬ и ТЕРНАРНОСТЬ.
Энциклопедия:
Термин – от лат. terminus – «граница», «предел». Слово или сочетание слов с оттенком специального научного значения (ограниченный смысл). Термин у римлян был богом границ. (Кстати, граница ведь тоже подразумевает изначально двоичность: «от сих до сих».)
Бинарность – от лат bi- — дву(х)-, от bis – «дважды» — состоящий из 2-х частей или имеющий 2 признака (2 качества, 2 состояния … и т.п.)
Ещё тебе, наверное, встретится Дихотомия: — от греч. dichotomia – «разделение надвое».
Это всё – смысловые лики двоичности.
… Ой, нет, не всё…
Есть же (пока напоследок) греческое di… — приставка, означающая «дважды», «двойной». И греч. dia… — приставка со значением завершённости (какого-то процесса или интервала от начала до конца, «от сих до сих»: диапазон, например, или диагональ…Ограниченный двумя предел, отрезок. Тоже двоичность…
Да! В связи с этим – ДИАтоника!
Вот эти два главных наших лада (мажор, минор) называют диатоническими.
Почему? – Да потому что они всегда проявляют себя, свой характер каждый раз в к о н к р е т н ы х пределах («от сих до сих»), в диапазоне конкретного ряда звуков: от «до» до «си»,от «ре» до «до», от «ми» до «ре», от «фа» до «ми», от «соль» до «фа», от «ля» до «соль», от «си» до «ля» (и дальше – опять от «до» до «си» и т.д.). Семь возможностей у ладов проявить свои характеры (посчитай, сколько было перечислено пределов/диапазонов). Потому что разных звуков (главных звуков) – семь: до, ре, ми, фа, соль, ля, си (греч. название диатоники — г е п т а тоника: семи-тоника).
Так и хочется сказать ГАММА. Ряд звуков в порядке. В порядке высоты («отряд», построенный «по росту»/высоте, только начинается с самого «низкорослого»). С т у п е н ч а т о с т ь. С т у п е н и. Их, знаешь, с е м ь.
А знаешь, что слово ступень происходит от санскритского ( санскрит – древний предок всех индоевропейсих языков) ступа? Буквально – это «куча», горка ( ещё — как гребень волны).
…Как «расшифровывается» слово ГАММА (т.е. каково его происхождение)? – Да просто от третьей буквы греческого алфавита – γ («гамма»).
Видимо, так потому, что ГАММА и ЛАД просто накрепко «склеены» друг с другом: их характеры зависят от терции («третьей»). Только ЛАД выразительнее проявляет себя в АККОРДЕ, а ГАММА – в ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ звуков. Промежуточное их состояние («среднее арифметическое») – АРПЕДЖИО ( от итал. arpedggio, от arpa – арфа; звуки вразбивку): а к к о р д как п о с л е д о в а т е ль н о с т ь звуков.
Так вот: троичность – три – терция – тернарность… Улавливаешь связь?
(Правда, «тернарность» звучит как-то уж очень специфично-математично для обычного пользования, да и как-то ближе к тоже специфичной «терции»; «троичность» — комфортнее.)
…Несмотря на то, что ЛАД и ГАММА «склеены», они, разумеется, – не одно и то же.
Вот можно ли отдельно исполнить ЛАД? ( «Исполняется лад Такойтович!…» — на концерте, допустим.)
И: «Исполняется гамма Ре-мажор!» (на экзамене). Было такое?
Иначе: «Исполняется гамма в ТОНАЛЬНОСТИ Ре-мажор». Или ре-минор.
Лад присутствует! Но… Не сам по себе. Он никак не может «выйти на сцену» вне ТОНАЛЬНОСТИ, без ТОНИКИ. Без них он никак не может проявить себя, заявить о своём существовании в этом мире. Сам по себе – он как душа без тела, настроение или характер — без человека. А где такое видано в нашем-то мире?
Ладу крайне необходима «телесность», упругость, ударение/напряжение звуковой волны – главный ТОН, ТОНИКА.
Вот когда ЛАД обретает свою ТОНИКУ (главный ТОН), в мир является новорожденная ТОНАЛЬНОСТЬ (… и «кричит», как младенец, с в о и м голосом, своей звуковой волной сотрясая воздух).
И в названии ТОНАЛЬНОСТИ обязательно присутствует имя/телесность ТОНИКИ и характер/душа ЛАДА: До-мажор, ля-минор… Какая разница, на каких языках выдаётся «паспорт» или «свидетельство о рождении» какому-то существу или сущности? На русском языке, на немецком, на английском… (все они так или иначе – индоевропейские через греческий и латинский – из санскрита). Просто сложились разные предпочтения «наречения» в разных странах. А нарекаемая сущность – одна и та же.
Вот я сейчас пишу по-русски: ТОНАЛЬНОСТЬ До-мажор…
А на следующей страничке ты увидишь «паспорта» тональностей на трёх языках. И всюду – ТОНИКА-ЛАД. (Опять двоичность…)
Тональностей, конечно, побольше, чем главных звуков (ступеней) гаммы-звукоряда. Не семь только лишь. Ведь каждый звук (как ступень) может ещё
«встать на цыпочки» или «присесть», изменив свой «рост»/высоту и предстать в изменённом виде, иным – повышенным или пониженным (альтерированным – от итал. alto – «высота»).
Диезы и бемоли сообщают нам об этих изменениях в виде знаков (двоичность и в этом… А если так: бемоль — гл. звук – диез, ре-бемоль—ре—ре-диез например, то – троичность).
Но всё равно ты увидишь там до-ре-ми-фа-соль-ля-си – семь (гептатонику/диатонику).
Итак, с родословной ТОНАЛЬНОСТЕЙ (или вообще такой особы – ТОНАЛЬНОСТЬ), кажется, немного прояснилось:
ТОНальность происходит от ТОНики, ТОНика от ТОНа, её душа – ЛАД, а «телесное» проявление – ГАММА (лучше, если вместе с ТОНическим АККОРДОМ – так более весомо, более убедительно). Уф!..
… И тогда Тональность я в л я е т с я, выступает, звучит, исполняется (в виде гаммы или какой-то пьесы). В общем, работает, исполняет свои обязанности – функционирует… А мы-то – ведём наблюдение! – А как же! – Для Досье…
… Только вот к т о она? Организация или организм? Как лучше вообразить ( мы ведь играем, у нас – игра)?
Организация – это какой-то упорядоченный отряд, компания, государство… с главой во главе. Организм – какое-то упорядоченное существо… с головой во главе… Главное – это организованность и упорядоченность, в этом — главная сущность.
Может, выбрать организм? Существо такое организованное, упорядоченное внутри себя?.. За ним всё-таки проще вести наблюдение (для досье), чем за компанией или целым государством?.. И тогда оно сможет функционировать, и с п о л н я я р о л ь (помнишь, это одно из значений слова «функция»?)…
…Актриса? Тональность – Актриса?..
А что? – Исполняет роли, меняет образы – настроение и внешность: то она МИ-бемоль-мажор(!), то ДО-минор(…)…И мы видим (слышим) уже не одну Тональность, а м н о ж е с т в о Тональностей. И при этом сущность организации этого существа не меняется!
… И мы однажды увидим, как по лестнице квинт гуляют (вместе с нами, разумеется) – Тональности! (ТОНАЛЬНОСТЬ в образах!)
На каждой квинте Тональность наверняка будет ощущать себя не менее чем королевой (queen)! И пусть это будет – в мажорном настроении!
А отчего ж не быть мажорному настроению, если гуляешь по солнечным лучам!
(Веди за этой «королевой» наблюдение на страничке ниже. Может, получится разгадать какой-то алгоритм в её движении и смене образов? – Так, для досье…)
/Рис.автора/
… Интересно, к а к д о л г о может продолжаться прогулка нашей «королевы» ( в образах тональностей, конечно же)?
…Наверное, всё зависит от длины дороги и от желания идти по ней.
Идти по солнечным лучам квинт… А если эта дорога-лестница не заканчивается длиной твоего пианино? Просто конструкторы пианино решили ограничиться охватом рук из соображений удобства?.. Разве мир звуков заканчивается там, где заканчивается пианино? Или твоя комната? Или твой город?.. Мир звуков даже не ограничивается возможностями наших, человечьих, ушей. Многие существа на Земле (животные) слышат ведь куда больше звуков, чем способны услышать мы. И для них эти звуки упорядочены подобно музыке (дельфины, например, общаются на м у з ы к а л ь н о м языке, который мы без приборов слышать неспособны; об этом – в книге Франса Де Вааля «Достаточно ли мы умны, чтобы судить об уме животных?»; и надо понимать, что сами «способности» наших приборов весьма и весьма ограниченны).
Мир звуков ведёт во Вселенную!
(Если хочешь услышать звуки Вселенной, найди на You Tube фильм «Вселенная. Звуки космоса». )
Итак, мир звуков ведёт во Вселенную…
Это однажды пронзительно ощутил и осознал Иоганн Себастьян Бах, и его музыка обрела воистину вселенский размах! И, да, он – один из первых отважных и вдохновенных Мастеров и «внедрителей» того музыкального строя, на котором держится знакомый нам мир музыки. Баха вдохновил немецкий музыкант и мыслитель в музыке Андреас Веркмейстер. А Веркмейстера вдохновили немецкий математик Генрих Грамматеус, итальянский музыкант и мыслитель Винченцо Галилей, французский математик Марен Мерсенн и фламандский математик Симон Стевин. Но самым первым открывателем знакомого нам музыкального строя считается… китайский астроном, математик и лингвист Чжу Цзайюй. Неожиданно?.. Неожиданно, что музыкой не на шутку и очень глубоко и всерьёз интересовались философы, математики, астрономы… Музыка привораживала их никак не меньше, чем к о с м и ч е с к о й значимостью, глубиной, беспредельностью, гармонией (согласованностью всего со всем, соразмерностью), стройностью.
Стройность – от слова «строй».
И да… этот строй – сияющая дорога-лестница квинт!
Ну конечно, помимо квинт есть прочие чудесные музыкальные интервалы, каждый из которых – важен (это мы поняли в связи с примой-тоникой и в связи с терцией, а также септимой («семь») и октавой само собой).
Однако тональности упрямо предпочитают «королевский» интервал для прогулок во Вселенную. Пианино – заканчивается. А музыкальный строй – нет (а звуковой вообще – тем более).
Если бы не одна «хитрость», которую придумали математики, музыкальному строю понадобилась бы клавиатура длиною в бесконечность.
Вот на следующей странице (рис.1) ты найдёшь клавиатуру, которая вознамерилась подражать бесконечности: бесконечности музыкального строя… Но её намерения так и остались незавершёнными. Ты же догадываешься, почему…
И всё-таки взгляни.
А теперь – о «хитрости» математиков.
Ты же помнишь про Мёбиуса и его ленту? «Мёбиус замкнул бесконечность в кольцо», — помнишь это высказывание?
Рассмотри модели на следующей странице. Мысленно «погуляй» по солнечным квинтам клавиатуры.
…Бесконечно?
Бесконечно можно гулять?
Эта «хитрость» музыкального строя, конечно же, была хорошо известна Баху. В его «Музыкальном приношении» (подарке) прусскому королю ФридрихуII (король тоже был музыкантом!) есть одно б е с к о н е ч н о е произведение – Модулирующий канон. Его музыкальная тема «прогуливается» бесконечно по кольцу тональностей.
«И пусть слава короля растёт по мере того как восходит модуляция!» — вот что сказал Бах, вручая королю свой подарок. (Другая интерпретация: «Пусть слава короля возрастает так же бесконечно!»)
Так что же такое эта загадочная «модуляция», приравненная к королевской славе?
…Ага, у нас, кажется, наклёвывается новый материальчик для «Досье на тональности»: что они поделывают, чем занимаются, как себя ведут…
Модель № 1.
По этой бесконечности-кольцу можно гулять либо только в диезном направлении, либо только в бемольном.
По этим клавиатурам можно гулять попеременно в диезном и бемольном направлениях (если условиться, что одна сторона ленты у нас задаёт диезное направление слева направо, а другая сторона – зеркальное бемольное направление).
/Модели автора/
Итак, тональности, оказывается, м о д у л и р у ю т! Не просто так себе прогуливаются в бесконечности, а словно совершают какой-то священный обряд, таинство какое-то под названием МОДУЛЯЦИЯ!
Что «думает» по этому поводу Энциклопедия? (Надо же с кем-то посоветоваться.)
МОДУЛЯЦИЯ – от лат. modulatio – «мерность», «размеренность». Размеренное, з а к о н о м е р н о е ИЗМЕНЕНИЕ.
Ну конечно же! Изменение! ТОНАЛЬНОСТЬ (является она нам или в виде аккорда, или гаммы, или пьесы, или просто музыкальной темы) и з м е н я е т с я, восходя на новую высоту-ступень (и возводя на неё аккорд, гамму, пьесу, тему…). Актриса! Преображается (и преображает аккорд, гамму, пьесу, тему…) в образы разных тональностей. Но не хаотично, не как попало, а з а к о н о м е р н о.
По з а к о н у квинт!
Энциклопедия:
МОДУЛЯЦИЯ в музыке: Переход в новую тональность, з а к о н о м е р н о е и з м е н е н и е тональности.
Так, оказывается, Бах отправил свою музыкальную тему (в Модулирующем каноне) на прогулку по лестнице квинт, заставив её з а к о н о м е р н о, последовательно принимать образы всё новых и новых тональностей!
Правда, Бах несколько усложнил своей музыкальной теме задачу: на первую ступеньку-квинту от ТОНИКИ она должна наступать слегка, а вот на следующей ступеньке-квинте утвердить свою НОВУЮ ТОНИКУ – и дальше аналогично.
Давай проследим этот путь (красным цветом):
…Заметил, что модуляции тональностей темы – через квинту (или двойную квинту – как двойной узел) – выстроили такое знакомое
До- ре- ми- фа- соль- ля- си
(если не обращать пока внимания на знаки альтерации)? Все семь знакомых нот. Звукоряд.
Этот звукоряд (упорядоченный ряд звуков) тоже гуляет по кольцу-бесконечности (Мёбиусу, узлу).
Гуляет или двойными квинтами (вместе с диезами/бемолями), или… октавами (если сжать его, словно гармошку).
А что поделывают диезы и бемоли?
…А тоже гуляют по той же лестнице-кольцу-бесконечности. Вместе с тональностями. И тоже… правильно, по квинтам! (Смотри картинки на следующих страницах.)
фа — до — соль — ре — ля — ми — си
си — ми — ля — ре — соль — до — фа
Прямо зеркальная симметрия между ними!
си-ми-ля-ре-соль-до-фа I фа-до-соль-ре-ля-ми-си
/бемоли/ /диезы/
фа-до-соль-ре-ля-ми-си I си-ми-ля-ре-соль-до-фа
/диезы/ /бемоли/
/Рис. Автора/
/Рис. Автора/
/Рис. автора/
/Рис. автора/
…Взгляни-ка сейчас на предыдущую страничку.
Что-то случилось.
Солнца нет.
Может, дождик? Или сумерки? Или лунный свет? Или космическая синева с голубой звездой Вегой? Или наши прикрытые веки и покой, задумчивость? Печаль или сосредоточенность?
У немецкого художника Альбрехта Дюрера есть гравюра с любопытным названием – «Меланхолия». Это очень странное чувство… Многозначное такое…
Размышляющий о мире небесный ангел на Земле… Меланхолия…
МИНОР.
Это всё – о нём.
Хотя, не всё.
У древних греков наш минор назывался дорийским ладом. И музыка, создаваемая в этом ладу, была музыкой воинов. Воинам была знакома печаль разлук, они всегда были готовы к битве, а значит, и прощанию с родными, друзьями, товарищами по оружию, светом солнечного дня. Дорийский лад выражал готовность воинов к мужеству и героизму.
Ангел у Альбрехта Дюрера тоже выглядит довольно мужественно…
А вот мажорный лад у греков назывался лидийским. И ассоциировался он с жизнерадостностью ребёнка.
Минорные тональности, как и мажорные, тоже прогуливаются по своим небесным квинтам.
Самые вдохновенные и самые волнующие музыкальные произведения написаны в минорных тональностях. Для самых важных мыслей и самых пронзительных чувств композиторы выбирают именно эти тональности. В них есть загадочность. Они глубоки и таинственны…
И они следуют за мажорами, словно прозрачные синие тени за солнцем на белом песке, протягиваясь на малую терцию позади мажоров – параллельно.
На следующей странице ты и увидишь солнечные лучи и синие тени. Их параллельность. Их неразлучность. Их бесконечный путь.
Они вместе поднимаются с диезами и спускаются с бемолями по одной и той же лестнице. Как стражники в гравюре Маурица Эшера «Поднимаясь и спускаясь» — да, по лестнице-кольцу.
/Рис. автора/
Поднимаются стражники-диезы, спускаются стражники-бемоли – стражники диезных и бемольных тональностей, мажорных и минорных. И на этой гравюре есть солнце и тени, и на самих стражниках – солнце и тени.
Они мажорно-минорны? Одновременно?
А вот интересно, пересекаются ли когда-нибудь и где-нибудь пути этих параллелей – мажоров и миноров? Пересекаются ли параллели?
В геометрии Евклида – знаешь, нет.
А вот в геометриях других великих математиков (Римана, Лобачевского) – всё возможно. Параллельные пересекаются в бесконечности. Конечно, если
эту бесконечность «закольцевать», замкнуть, — как в ленте Мёбиуса или узле… В знакомом нам узле – даже т р и пересечения. И он так же бесконечен, как квинтовый путь тональностей.
И музыкальный строй намекает нам на возможность пересечения путей мажоров и миноров. Как?
Да вспомни г а р м о н и ч е с к и й минор! (Лад МИНОР существует «в трёх лицах»: натуральный, гармонический, мелодический, — помнишь?)
Гармонический – самый любимый композиторами. В нём-то и происходит чудо. Чудо пересечения минора и мажора! …На квинте! И помогает совершиться этому чуду – диез. «Незапланированный» диез, не предусмотренный среди главных знаков при ключе. Он возникает, как порыв! Ввысь! На самом последнем звуке тональности, на самой высокой её ступени – на седьмой: ещё чуть-чуть выше, в самый последний момент, «из последних сил»…Усилие и напряжённость. И свершается «незапланированное» — ЧУДО: на квинте минорной тональности вспыхивает солнце мажорного трезвучия! Пересечение минора и мажора.
(ля-до-ми – минор; ми-соль-диез-си – мажор внутри тональности ля-минор)
Из-за этого маленького упрямого диеза всё трезвучие на квинте минорной тональности взбудоражило вообще всю тональность, взволновало её, вышибло из состояния равновесия, устойчивости. Как ей быть? Её душа (лад) разрывается на части: в её минорной душе – мажор?!
Похоже, это момент душевной (ладовой) драмы… Смятение, взволнованность,«колебательность». Неустойчивость.
И это состояние стало… ф у н к ц и е й (ролью, «делом жизни») трезвучия на квинте ТОНАЛЬНОСТИ вообще и всех её образов – разных тональностей.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ – так называется это состояние.
На квинте (5-й ступени) любой тональности – трезвучие с ф у н к ц и е й
н е у с т о й ч и в о с т и.
Так стало и в мажорных тональностях.
А саму функцию (роль) стали называть доминантовой.
А квинту внутри тональности (её 5-ю ступень) стали называть просто доминантой.
Доминанта – это роль (функция) квинты внутри тональности. И эта роль (функция) – неустойчивость. …Уф! (У тебя голова ещё не кружится от всего этого? Хотя… у нас же – г о л о в о л о м к а!)
Здесь надо бы посоветоваться с Энциклопедией по поводу доминанты…
Лат. dominans, dominantis – «господствующий».
Dominatus – «господство». Dominion – «владение», «власть».
…О! Какое совпадение! Внутри ТОНАЛЬНОСТИ квинта (queen) исполняет функцию (роль, действие) доминанты-господства. Королева-квинта – госпожа-доминанта!
Ты заметил, что мы забрались в н у т р ь ТОНАЛЬНОСТИ? Её внутренний мир. В нашем «Досье на тональности», похоже, пора открыть ещё один раздел: «В н у т р е н н и й мир ТОНАЛЬНОСТИ». У нас уже есть «Родословная» (раздел №1), «Внешнее поведение» (раздел №2, прогулки по бесконечности). А теперь ещё и «Внутренний мир» (раздел №3).
…Вот только как же нам быть с одним противоречием во внутреннем мире ТОНАЛЬНОСТИ? – Тоника и Доминанта… Что главнее?
Какая ф у н к ц и я главнее? – Тоника – центр гравитации-притяжения и устойчивости внутри ТОНАЛЬНОСТИ, властительница ТОНАЛЬНОСТИ.
Доминанта – госпожа-королева, потому что на квинте. Момент крайней неустойчивости внутри ТОНАЛЬНОСТИ.
Это невероятно важный момент!
Потому что это всегда – момент «жизненного выбора» ТОНАЛЬНОСТИ.
Момент принятия жизненно-важного решения: остаться в старом доме (пространстве влияния и притяжения прежней, такой привычной и обжитой Тоники) или поддаться этому сильному желанию новизны и шагнуть в ещё не известное, такое манящее будущее: шагнуть на новую ступень – Доминанту на квинте — и утвердить на ней новую Тонику, стать новой
Тональностью… Смело войти в состояние неустойчивости и создать новый устой. Момент модуляции. Момент изменения, перехода, шага.
Такой шаг, такое решение всегда связано с напряжением, усилием, силой. Это поистине королевское решение!
Его сила движет миром. Великие государи, отважные пророки, мужественные путешественники-первооткрыватели, великие учёные, исследователи, испытатели, мыслители, композиторы, художники.., — Мастера, все, кто всходил на доминанту-квинту Жизни.
Да и мы, когда-то шагнув в поток Жизни (родившись), отправляемся в этот путь – путь менее великих, но тоже – доминант. Когда совершаем над собою прежними усилие. И обновляемся. Усилились – обновились, усилились – обновились… Мы тоже постоянно модулируем.
…Знаешь, если речь уж зашла о нашей, человечьей, жизни, как-то вдруг захотелось чуть побольше узнать об этом сильном слове «доминанта». В нём Музыка и Жизнь – связаны накрепко. (Узлом?)
Вот, из нашей нервной жизни (Энциклопедия):
«Доминанта – временно г о с п о д с т в у ю щ и й очаг возбуждения
(н а п р я ж е н и я) в центральной нервной системе. Создаёт скрытую г о т о в н о с т ь организма к определённой д е я т е л ь н о с т и.»
/Рисунки из Интернет источников в свободном доступе: медицинские сайты/
Вот! – Возникшее напряжение, импульс, электрический заряд, накопленная для деятельности энергия, сгусток энергии, всплеск! Кульминация! Гребень, пик волны!
Кульминация – от лат. culminis – «вершина». Всё сходится: сила, напряжение, энергия, вершина, кульминация – доминанта!
На предыдущей странице ты видел наши нервные доминанты. Картинки с ними, разумеется.
…Волнение, неустойчивость – движение!
Д о м и н а н т а в с е г д а с в я з а н а с д в и ж е н и е м.
Жизнь – в движении, время – в движении, душа – в движении.
Душа – в движении нервных импульсов. Она вся – из нервных токов, волновых, волнующихся потоков.
Древние греки изображали душу в виде бабочки: взмахи её крыльев создают воздушные волны, подобные дыханию: вдох-выдох, вдох-выдох…
Они называли душу богиней Психеей (греч. psyche – «душа»). Вот откуда «психика» и «психология».
Ох, как у нас всё сплелось: квинты-доминанты-движение-время-волны-дыхание-душа/Психея… А Мысль рождается из всего этого…
Ну вот, забравшись во внутренний мир ТОНАЛЬНОСТИ, мы оказались и в нашем внутреннем мире.
Давай вернёмся в музыку.
Доминанта в музыке.
Энциклопедия:
«Доминанта – гармоническая функция в мажоре и миноре, обладающая
и н т е н с и в н ы м т я г о т е н и е м к т о н и к е.»
Ну конечно: либо она сама желает стать новой тоникой и интенсивно к этому тяготеет, и тогда совершает модуляцию/изменение и переход в новую тональность (через тернии – к звёздам! Ко всё новым и новым звёздам!), либо
решительно возвращается домой, в прежнюю родную тональность, — так же решительно, как волна своим гребнем обрушивается на берег. Разрядка напряжения. Решительный выдох. (Может, ты так выдыхал перед выходом на сцену? – Чтобы успокоиться?)
В таком случае напряжение разряжается, успокаивается в тонике родного дома родной тональности: всё как прежде, домашние счастливы, доминанта при них, сняла корону и надела домашние тапочки. Чай-кофе-телик, тихий сон…
Нейрон тоже разряжается, сверкнув своей королевской молнией и громом. Ему тоже нужен отдых, чтобы набраться сил для новой доминанты, время на выдох и новый вдох.
Да и вообще вся наша жизнь похожа на какую-нибудь одну отдельную Тональность, одно отдельное произведение в этой отдельной Тональности: рождаемся подобно тону-тонике, музыкальной теме; стремимся к доминанте – пику своих достижений, сверкаем и успокаиваемся, выдыхаем/исчезаем. Наша земная жизнь конечна. Дискретна. У каждого из нас – свой диапазон длиною в определённое количество лет.
(В математике ты встретишь этот термин:
дискретность – от лат. discretus – «прерывистый», «разделённый»).
Подавляющее большинство музыкальных произведений – дискретны, конечны. Но практически в каждом дискретном произведении есть Пик Бесконечности – доминанта. Кульминация (самое сильное и волнующее место в произведении) всегда происходит в доминантовой тональности. А доминанта принадлежит бесконечному квинтовому пути…
Уж если кому посчастливится в жизни испытать восторг доминанты – тот, считай, зацепился крючочком за Бесконечность!
***
У нас есть ещё модели №4 и №5.
Присмотрись к ним (на следующих страницах).
…Да, они тоже воспроизводят музыкальный строй. Но уже не клавиатурой, а узлами. Геометрически!
Мажоры и миноры – параллельны, как параллельны поверхности плоской бумажной ленты.
Квинты стали пятиугольниками (ты же помнишь, что слово «квинта» означает «пять»). Древние учёные так и мыслили числа – геометрически: треугольно, квадратно, пятиугольно…
Пятиугольник – фигура дискретная (как и другие ограниченные, конечные фигуры), но сотворяется он в нашем случае из непрерывной (непрерывно текущей, словно поток – поток звуковых волн и времени) ленты, которая в принципе может длиться бесконечно (если включить воображение).
В этих моделях дискретность и непрерывность встретились!
Благодаря… узлу.
Модель №4:
Правые узлы (лента вяжется в узел слева направо) — квинты, идущие вверх – диезные тональности. Пятиугольники вершинами вверх означают явление повышения, «диезность». (На модели – красные вершины.)
Левые узлы (лента вяжется в узел зеркально: справа налево) – квинты, идущие вниз – бемольные тональности. Пятиугольники вершинами вниз означают явление понижения, «бемольность». (На модели – синие вершины.)
Ниже – она же в трёх последовательных фрагментах.
/Модели автора/
Между солнечными мажорными узлами проглядывают синие посредницы-медианты: миноры.
Каждому диезному мажору справа соответствует параллельный минор слева.
Каждому бемольному мажору слева соответствует параллельный минор справа.
Гипотенуза треугольника затем становилась горизонталью нового треугольника, — и всё повторялось так, пока не возникла галактика.
История эта геометрически воспроизводит историю с доминантой и тоникой. В роли тоники – горизонталь треугольника. Гипотенуза – в роли доминанты. Эта «доминанта» становится «тоникой» (горизонталью) нового треугольника. В нём образуется новая «доминанта»/гипотенуза, которая становится новой «тоникой»… и т.д.
Модуляции!
/Рис. автора/
В рисунке галактики ты видишь м о д у л я ц и и (изменения) треугольника. Они возможны благодаря Золотому сечению. Благодаря с а м о п о д о б и ю: все они п о д о б н ы друг другу. Это как будто один и тот же треугольник («сам») то увеличивается, то уменьшается, то возрастает, то убывает – изменяется (он вроде тот же, да не тот). Изменяется с одним и тем же коэффициентом пропорциональности.
То же – с тональностями.
Вот – ТОНАЛЬНОСТЬ. Как таковая, «сама», с принципом её устроения.
А разнообразие множества Тональностей – это ТОНАЛЬНОСТЬ « в образах» (помнишь – ТОНАЛЬНОСТЬ-Актриса?). И все эти Тональности-образы – подобны. С а м о п о д о б н ы. По общему принципу внутреннего устроения ТОНАЛЬНОСТИ вообще, «самой» (смотри «Родословную» ТОНАЛЬНОСТИ из «Досье на тональности»).
Коэффициент пропорциональности самоподобных треугольников – φ (число Золотого сечения). Треугольники возрастают и убывают в пропорции φ, увеличиваясь или уменьшаясь на это число.
Тональности изменяются, увеличивая или уменьшая высоту (высотное положение) своего главного, опорного звука – тоники. Они изменяют своё высотное положение в музыкальном строе, то «диезно» шагая вверх по квинтам, то «бемольно» спускаясь вниз по квинтам. Тоники шагают по квинтам вверх или вниз. Тональности шагают своими тониками по квинтам.
Квинта для них – что-то вроде коэффициента пропорционального изменения, коэффициента пропорциональности. КВИНТА ведь остаётся КВИНТОЙ – интервалом, одним и тем же «отрезком», расстоянием между звуками. Одним и тем же интервалом в разных тональностях. Звучит на разных высотах
с а м о п о д о б н о: звуки – разной высоты, а интервал между ними – один и тот же («сам»).
С а м о п о д о б и е — и в музыкальном строе!
Конечно, в с е интервалы в музыкальном строе в каком-то смысле самоподобны – они ведь сохраняют свою «самость» в любой тональности.
Но… сами-то тональности шагают – по квинтам!
Почему же из всех интервалов именно квинта выбрана главной мерой музыкального строя? Нам же так хочется назвать главной мерой октаву!
О, с их отношениями мы ещё разберёмся…
А вот квинта…
Из всех интервалов именно она-то оказалась ближе всего к φ!
Музыка возжелала выразить саму Жизнь!
Ей понадобился строй, который бы выразил сам п р и н ц и п ж и з н и.
А п р и н ц и п Жизни выражает … Золотое сечение! С помощью своего коэффициента пропорциональности – φ.
А музыкальный строй – это ведь п р и н ц и п устроения Музыки вообще.
И его главной мерой стал интервал, связанный с φ.
Музыка и Жизнь.
Музыка как Жизнь.
О связи квинты и φ мы ещё поговорим как-нибудь поконкретнее.
Пока заметим, что пятиугольник-узел в наших моделях музыкального строя самым подходящим образом выражает связь квинты и φ.
Ты ведь уже знаешь, что внутри пятиугольника-узла сама собой зарождается Пентаграмма – геометрический абсолют Золотого сечения.
Вот и вернёмся к нашим моделям №4 и№5 – геометрическим моделям музыкального строя.
Обе эти модели – по сути одно и то же. Их красные и синие вершины («макушки» квинт) намекают на это. Если бы модели были прозрачны, словно мысль, это было бы видно сразу.
А так – в модели №4 мысль изложена на одной стороне, а в модели №5 – на обеих сторонах (лицевой и обратной: диезные тональности – на лицевой стороне, бемольные – на обратной).
Модель № 5 в последовательных фрагментах. Сторона 1: диезные тональности
/Модель автора/
Сторона 2: бемольные тональности.
Присмотрись к этим развёрнутым моделям (№ 4 и № 5).
Что ты видишь?
Ты э т о видишь? :
А такое ты уже видел (несколько страниц назад)? :
…Да, когда речь шла о доминантах.
А теперь – вот так:
Волна.
Вдох (с «точки зрения» наших лёгких: много частиц воздуха):
Ты ощущаешь напряжение в лёгких? Ощущаешь давление частиц воздуха?
Выдох (с «точки зрения» наших лёгких: мало частиц воздуха):
Ощущаешь разрядку, падение напряжения в лёгких?
Играем дальше?
Поднеси свою ладошку ко рту на расстояние ладошки.
Проиграем ситуацию (тот же процесс) с «точки зрения» ладони.
Сделай вдох.
Ладонь ощущает давление, напряжение воздуха? (Моя – нет. А твоя?)
Сделай выдох.
Появилось давление/напряжение? Ладонь это чувствует?
А шум есть?
Шум – это уже звук.
Наши лёгкие тоже, наверное, по-своему шумят где-то внутри нас. Только от наших ушей они спрятаны далековато… Вот у врачей есть «длинное ухо» — стетоскоп. Это «ухо» — слышит давление/напряжение воздушно-звуковых волн в лёгких.
У лёгких и у ладони в нашей игре – переменно-перекрёстные доминанты:
Верхняя у лёгких (вдох, напряжение) – нижняя у ладони.
Нижняя у лёгких (выдох, разрядка) – верхняя у ладони (напряжение/давление).
Если интересно, почитай самое главное о звуковых волнах – ниже.
А потом будет просто игра.
В геометрию волн.
/Фрагмнты статьи Звук и акустика. С позволения Энциклопедии Кругосвет./
/Рисунки автора/
/Рисунок из книги: Г.Н.Фадеев. Химия и цвет. Книга для внеклассного чтения 9-10 классы. М. «Просвещение»,1983г./
…Однажды (ещё до твоего явления в этот мир) в книжке известного японского физика по имени Рёю Утияма (он 11лет был постоянным членом Международной комиссии по общей теории относительности и гравитации, а книжка называлась «К чему пришла физика») я прочитала: «Так что же такое атом? — …Это в о л н о в о й п а к е т». Не дословно, конечно, по выражению. Но мысль абсолютно «дословна»: атом – это в о л н о в о й п а к е т.
Тогда что же такое МЫ (с нашими руками, ногами, «внутренним содержанием», головой, носами, глазами, ушами и т.д.)? Из чего же мы состоим, если не из атомов? — Соображаешь, куда тянется мысль? – «Пакетик», «пакетик», «пакетик»… (млрд. млрд. раз) – вот и вышел человечек!
И все эти млрд.млрд-ов причудливо связанных друг с другом микро-микро-микро-волн напрягаются и расслабляются – колеблются — волнами кровотока, дыхания, нервных доминант, света, звука…
Неужели это всё – МЫ?
Вот следующие страницы – о з в у к о в ы х волнах, которые пронизывают нас, волнуют, путешествуют (гуляют) внутри нас и …тоже м о д у л и р у ют, превращаясь в конце концов в электрические доминанты нейронов: импульсы-сигналы-информацию о мире для нашего главного (головного) правителя – мозга. Он для нас – то же, что queen, когда становится ТОНИКОЙ, беря на себя руководство нашими поступками (конечно, после того, как всю информацию с о р а з м е р и л и с г а р м о н и з и р о в а л, привёл в порядок – упорядочил).
Просто поразвлекай своего «главу-правителя» картинками. Пусть мысли тоже погуляют по картинкам и помодулируют…
/Рис. из Интернет источника в свободном доступе: медицинские сайты./
/Рисунки из Интернет источников в свободном доступе./
/Рис. из Интернет источника в свободном доступе: медицинские сайты/
/Рисунки из Интернет источника в свободном доступе: медицинские сайты./
/Рисунки выше – из Интернет источников в свободном доступе: медицинские сайты./
/Модели автора/
/Рисунки из Интернет источников в свободном доступе: медицинские сайты./
ГЕОМЕТРИЯ УЛИТКИ
/Развёртка пирамиды. Модель автора./
/Модели и чертёж автора/
Молоточки и наковальни.
/Рис. из Интернет источника в свободном доступе: медицинские сайты./
/Рисунки из Интернет источников в свободном доступе: медицинские сайты./